CONSTRUCTION ET LECTURE DU DIAGRAMME CARTÉSIEN

Dans cette leçon nous allons apprendre comment on trace les droites graduées pour pouvoir représenter de façon convenable, les grandeurs données.

Dans les représentations les plus utilisées en technique, le système de référence est constitué par deux droites perpendiculaires, l'une horizontale et l'autre verticale, appelées axes du système, ou plus simplement, axes.

La figure 1 montre les deux axes dessinés séparément de façon à bien mettre en évidence les conventions qu'il convient d'établir pour chacun d'eux.

Considérons d'abord l'axe horizontal correspondant à la droite graduée. Nous remarquons que l'axe de la figure 1-a, il comporte en effet deux numérotations : l'une qui part de l'origine et va vers la droite, et l'autre, qui part de la même origine et va vers la gauche ; entre outre, les nombres qui se trouvent à gauche de l'origine, sont tous précédés du signe «-» (moins). Chaque nombre, tant à droite qu'à gauche de l'origine, correspond à une des subdivisions et celles-ci se suivent à la même distance l'une de l'autre.

 

Les nombres et les subdivisions de la droite s'appellent abscisses : abscisses positives à droite de l'origine, et abscisses négatives à gauche. Supposons que l'axe horizontal représente le déroulement du temps. L'origine 0 indique l'instant où nous commençons à compter. L'abscisse positive 1, indique qu'à partir du moment initial, s'est écoulée une unité de temps, à savoir une seconde, ou une heure, ou un jour (cela dépend de l'unité que nous avons choisie).

L'abscisse 2 indique qu'à partir de l'instant initial se sont écoulées deux unités de temps (2 secondes, 2 heures ou 2 jours. L'abscisse 3 indique trois unités de temps après l'instant initial ; l'abscisse 4 indique quatre unités de temps après l'instant initial et ainsi de suite.

Les abscisses négatives indiquent aussi des unités de temps, mais au lieu de représenter le temps qui s'est écoulé à partir de l'instant initial choisi, elles représentent le temps qui a précédé cet instant initial. Ainsi, l'abscisse négative - 1 indique qu'il reste une unité de temps pour arriver à l'instant initial, l'abscisse - 3 indique trois unités de temps avant l'instant initial et ainsi de suite vers des temps toujours plus lointains avant l'instant initial.

En ayant présent à l'esprit la signification des nombres précédés du signe - (- 4, - 3, - 2, - 1), nous observons qu'en allant vers la droite, c'est-à-dire, qu'en passant d'un grand nombre à un plus petit, la distance à partir du temps initial diminue ; on peut penser que la flèche qui indique l'augmentation des temps n'est pas en accord avec la représentation des temps à gauche de l'origine.

Cette déduction serait exacte si nous nous limitons à regarder la numérotation des abscisses négatives, sans prendre en considération la progression du temps. Si nous commençons à compter les temps, en partant d'une abscisse négative, par exemple - 4 secondes, et, si nous voulons maintenir ce compte en concordance avec la succession réelle des secondes, nous devons nous exprimer ainsi :

      moins quatre secondes, moins trois secondes, moins deux secondes, moins une seconde, temps zéro, une seconde (après le temps zéro), deux secondes, trois secondes, quatre secondes...

Comme on le voit, le comptage qui suit l'écoulement du temps va toujours de la gauche vers la droite, en accord avec la flèche placée à l'extrémité de l'axe, soit que l'on compte sur les abscisses négatives, soit, à plus forte raison que l'on compte sur les abscisses positives.

Ce point étant éclairci, considérons maintenant l'axe vertical tracé sur la figure 1-b.

Nous pouvons répéter toutes les considérations faites pour l'axe horizontal à propos de l'origine, des numérotations et des subdivisions. La seule différence consiste dans le nom donné aux subdivisions et aux numéros correspondants qui sont appelés ordonnées : ordonnées positives au-dessus de l'origine et ordonnées négatives au-dessous de cette même origine.

L'axe vertical doit aussi représenter une grandeur physique donnée ; par exemple, il peut représenter la température et ses valeurs respectives où l'axe vertical est constitué par l'échelle du thermomètre. En comparant l'axe vertical avec l'échelle du thermomètre, nous pouvons deviner facilement la signification de la flèche placée à l'extrémité supérieure de l'axe : comme dans l'exemple des temps pour l'axe horizontal, la flèche indique la direction des valeurs croissantes.

Dans le cas particulier considéré, elle indique dans quelle direction se produisent les augmentations de la température.

Une augmentation de température consiste justement, à partir d'une valeur ordonnée négative, à aller vers les valeurs croissantes des ordonnées positives. Ce déplacement va donc de bas en haut, comme l'indique la flèche, au même titre que la colonne de mercure du thermomètre monte lorsque la température augmente.

La signification des axes étant établie, voyons maintenant comment ils sont disposés sur la feuille de manière à former un système de référence adapté à l'établissement et à la lecture des graphiques. Pour exploiter un système de référence, il suffit de convenir :

      de la position de chaque axe dans le plan de la feuille ;

      comment, en partant d'un point du plan, déterminer son abscisse et ordonnée.

      comment, en partant de l'abscisse et de l'ordonnée, situer un point dans le plan.

Parmi les solutions possibles, en nombre infini, adoptons celle de la figure 2, qui, sous beaucoup d'aspects, est la plus simple et la plus fréquemment utilisée en électronique.

 

Pour composer ce système de référence, il faut croiser deux axes perpendiculairement et de telle façon que leurs points d'origines respectifs coïncident. En outre, on établit la règle suivante pour passer des points du plan, aux valeurs correspondantes que l'on peut lire sur les axes :

      étant donné un point, on considère deux droites passant par ce point ; l'une perpendiculaire à l'axe des abscisses et l'autre perpendiculaire à l'axe des ordonnées.

      L'intersection de la droite perpendiculaire à l'axe des abscisses avec cet axe indique la valeur de l'abscisse ; l'intersection de la droite perpendiculaire à l'axe des ordonnées avec cet axe indique la valeur de l'ordonnée.

En suivant la règle que nous venons d'énoncer, on peut facilement établir les valeurs d'abscisses et d'ordonnées des points A, B, C, D, indiqués sur la figure 2.

Point A : la perpendiculaire à l'axe des abscisses indique sur cet axe la valeur 2 et la perpendiculaire à l'axe des ordonnées indique sur cet axe la valeur 2. Par conséquent, le point A correspond à la valeur d'abscisse 2 et à la valeur d'ordonnée 2.

Point B : en suivant la même méthode que pour le point A, on trouve que le point B correspond à la valeur d'abscisse - 3 et à la valeur d'ordonné 3.

Point C : il correspond à la valeur d'abscisse - 1 et à la valeur d'ordonnée - 5.

Point D : il correspond à la valeur d'abscisse 4 et à la valeur d'ordonnée - 2.

Les graphiques basés sur les règles précédentes s'appellent les diagrammes cartésiens.

Un diagramme cartésien divise le plan de la feuille en quatre parties, appelées quadrants, séparés entre eux par les deux axes qui se croisent. Il est intéressant de remarquer que les points compris dans le premier quadrant (figure 2), ont des abscisses et des ordonnées positives ; les points du deuxième quadrant ont des abscisses négatives et des ordonnées positives ; les points du troisième quadrant ont des abscisses et des ordonnées négatives ; enfin, les point du quatrième quadrant ont des ordonnées négatives et des abscisses positives.

En combinant judicieusement les abscisses positives et négatives, avec les ordonnées positives et négatives, on peut représenter chaque point du plan, au moyen d'un couple de valeurs (abscisse et ordonnée) appelé coordonnées du point.

Habituellement, pour désigner un point d'une représentation graphique, on écrit les valeurs des coordonnées entre parenthèse (après la lettre majuscule constituant le nom du point) en mettant toujours en premier, la valeur de l'abscisse et en second la valeur de l'ordonnée.

Par exemple, pour désigner les points de la figure 2, on écrit en abrégé :

Il faudra toujours avoir à l'esprit cette écriture abrégée chaque fois qu'un point du graphique devra être désigné par ses coordonnées ou, inversement, lorsque connaissant les coordonnées, on devra situer un point dans le plan.

En nous servant du système d'axes cartésiens, nous allons maintenant construire une représentation graphique de la loi d'Ohm, que nous avons déjà examinée au point de vue des expressions mathématiques littérales.

Considérons le cas d'un circuit formé par une batterie de piles (B) et par une résistance (R) ayant la valeur de 1 ohm (figure 3-a). On admet que les conducteurs ont une résistance négligeable. Nous pouvons déterminer pour chaque valeur de tension (V), une valeur d'intensité (I) bien définie, qui, d'après la loi d'Ohm, est d'autant plus élevée que la tension de la batterie est elle même plus importante.

Au commencement, lorsque la batterie n'est pas raccordée, aucune tension n'est appliquée à la résistance et, il n'y a évidemment pas de courant. Cela peut être représenté dans le diagramme de la figure 3-a, en marquant d'un point l'origine 0 qui correspond à la valeur zéro de la tension (axe des abscisses) et à la valeur zéro de l'intensité (axe des ordonnées).

En fournissant une tension de 2 volts, l'intensité traversant la résistance à pour valeur :

Sur le diagramme de la figure 3-a, nous marquons un point correspondant aux valeurs : tension = 2 volts, intensité = 2 ampères.

Avec une tension de 4 volts, l'intensité à pour valeur :

Sur le diagramme de la figure 3-a, nous marquons un nouveau point correspondant à V = 4 volts et I = 4 ampères.

Par ce procédé, nous pouvons introduire dans le diagramme autant de points qu'il y a de valeurs de tension à prendre en considération et de valeurs d'intensité correspondantes. Limitons-nous à ces trois points qui sont suffisants pour nous permettre de poursuivre notre développement.

Reportons le diagramme de la figure 3-a sur la figure 3-b. Si le tracé des axes et le positionnement des trois points ont été effectués avec la précision voulue, on peut voir que trois points se trouvent alignés sur une droite.

Cette droite inclinée, passant par l'origine du système des axes, constitue la courbe représentative de la loi d'Ohm, dans le cas particulier d'un circuit ayant une résistance de 1 ohm.

La vérification est très simple. En partant d'une valeur de tension non encore prise en considération mais indiquée sur l'axe des abscisses, on trace la perpendiculaire à ce même axe jusqu'à rencontrer la droite du graphique.

Remarque : En mathématiques, le mot «courbe» est synonyme de «ligne». Une «courbe» peut donc être une droite comme dans le cas présent. Nous reverrons cette terminologie de l'étude des fonctions. A partir de l'intersection de ces deux droites, on mène une perpendiculaire à l'axe des ordonnées déterminant ainsi sur cet axe, la valeur de l'intensité correspondant à la valeur de la tension choisie. Les deux valeurs, celle de la tension et celle de l'intensité, ainsi que la valeur de la résistance (1 ohm), devront satisfaire à l'égalité établie par la loi d'Ohm.

Exemple :

      Prenons la valeur de 1 volt pour la tension (axe des abscisses). Traçons la perpendiculaire qui rencontre la droite au point A (figure 3-b).

A partir du point A, traçons la perpendiculaire à l'axe des ordonnées ; elle indique sur cet axe la valeur 1, c'est-à-dire, la valeur de 1 ampère (intensité).

Calculons maintenant en partant d'une des formes de la loi d'Ohm, la valeur de la résistance en partant d'une tension de 1 volt et d'une intensité de 1 ampère :

ce qui correspond effectivement à la valeur de la résistance du circuit.

      Prenons la valeur 3 volts. Traçons la perpendiculaire. Elle rencontre la droite au point B (figure 3-b).

A partir du point B, traçons la perpendiculaire à l'axe des ordonnées ; elle indique la valeur 3. Remplaçons maintenant les valeurs 3 volts, 3 ampères et 1 ohm dans une autre forme de la loi d'Ohm.

Dans ce cas aussi, l'égalité entre les deux membres de la formule est satisfaite. Nous pouvons donc conclure que le point B, tout comme le point A, appartient effectivement au graphique de la loi d'Ohm. On pourrait présenter de nombreux autres exemples de ce genre, en choisissant à volonté la valeur de la tension et en utilisant la droite du graphique pour déterminer sur l'axe des ordonnées la valeur de l'intensité.

Ils démontreraient toujours que les points de la droite inclinée représentent le lien existant entre la tension et l'intensité, tout comme les formules de la loi d'Ohm représentent ce même lien. Ainsi, la droite inclinée passant par l'origine du diagramme et les trois formules de la loi d'Ohm peuvent être considérées comme équivalentes entre elles.

Cependant, nous ne sommes parvenus à ce résultat qu'en considérant le cas particulier dans lequel la résistance du circuit est égal à 1 ohm. Nous étendrons ultérieurement nos considérations au cas plus général dans lequel la résistance du circuit présente une valeur quelconque.

Il peut s'énoncer sous la forme suivante :

«La surface du carré, construit à partir de l'hypoténuse, est égale à la somme des surfaces des carrés construits à partir des deux autres côtés».

Ce théorème est illustré à la figure 4.

 

La deuxième forme du théorème que l'on rencontre le plus souvent :

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égale à la somme des carrés des deux côtés de l'angle droit.

Écrivons la formule de ce théorème (a et b sont les longueurs des côtés, et c la longueur de l'hypoténuse).

Cette relation permet de trouver l'hypoténuse. Écrivons-la sous la forme :

On peut aussi trouver un côté en écrivant la relation comme ceci :

Supposons que l'on veuille calculer l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés auraient : a = 3 m et b = 5 m ; remplaçons les lettres par leur valeur dans la formule :

 

Supposons que l'on veuille calculer le côté (b) d'un triangle rectangle en connaissant l'hypoténuse c = 6 cm et l'autre côté (a = 4 cm) ; remplaçons les lettres par leur valeur dans la formule :

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