4. - VALEUR, SIGNE, COMPLÉMENT D'UN NOMBRE

Avec la numération, nous avons vu les chiffres et la manière la plus courante de les organiser pour constituer les nombres.

Il reste cependant à préciser certains termes relatifs à ces nombres.

4. 1. - VALEUR NUMÉRIQUE ABSOLUE

La valeur numérique absolue est une des déterminations possibles d'une quantité variable.

Nous avons vu que dans la numération de position, chaque graphisme utilisé possède une signification en lui-même et, selon son rang dans l'ordre d'écriture du nombre, on lui affecte un poids déterminé.

Cette double «pesée» constitue la valeur numérique absolue du nombre.

4. 2. - SIGNE D'UN NOMBRE

La valeur absolue d'un nombre est précédée du signe + (plus), quand ce nombre est supérieur à zéro.

Dans le cas où ce nombre est inférieur à zéro, la valeur absolue est précédée du signe - (moins).

Les nombres accompagnés du signe + seront appelés : les nombres positifs.

Ceux qui sont précédés du signe - englobent : les nombres négatifs.

L'ensemble des nombres positifs et négatifs prend l'appellation d'ensemble des nombres relatifs.

Par convention, les nombres positifs ne sont pas représentés avec leur signe +.

Pour résumer :

      la valeur absolue d'un nombre est la valeur qui lui est affectée par le système de numération adopté et sans tenir compte de son signe. Cette valeur est représentée entre 2 tirets verticaux :

• soit un nombre de valeur absolue : |256|

• soit un nombre positif : + 256 ou 256

• soit un nombre négatif : - 256.

Pour plus de précision et afin de dissocier le signe du nombre et celui des opérations que l'on peut effectuer avec les nombres relatifs, ces derniers devraient être représentés par leur valeur absolue et leur signe entre parenthèses.

Exemple :  (+ 256), (- 128).

Dans les calculs courants, par simplification, on omet, à tort, les parenthèses.

4. 3. - COMPLÉMENT D'UN NOMBRE

Le complément d'un nombre est le nombre qu'il faut ajouter au premier pour en obtenir un troisième, désigné par avance et servant en quelque sorte de référence.

Exemple :

Le complément du nombre 75 par rapport à la valeur numérique 87, désignée par avance est :

87 - 75 = 12

L'importance du complément à une valeur arbitraire (comme dans cet exemple : 87) n'est pas évident, sauf dans le cas de la soustraction.

Il existe, par contre, des cas particuliers, comme les compléments à 9 ou à 10 (en système décimal), ainsi que les compléments à 1 ou à 2 (en système binaire), qui nous serviront pour la réalisation des opérations dans les systèmes numériques (soustraction et division).

Évidemment, dans ces systèmes qui utilisent la numération binaire, il s'agit des compléments à 1 et à 2, mais pour une meilleure approche de ce processus, nous commencerons par les compléments dans la numération à base 10.

Posons l'opération :

Le nombre binaire 0101 est le complément à 1 de 1010. Si on additionne ces deux nombres, on obtient : 1111.

Il faut noter qu'il suffit de remplacer les 0 par des 1 et vice-versa pour trouver le complément à 1 d'un nombre binaire, la procédure est donc très simple.

4. 3. 4. - COMPLÉMENT A 2         

C'est l'équivalent binaire du complément à 10 décimal, que nous connaissons déjà.

Puisqu'il s'agit de la valeur numérique qu'il faut ajouter à un nombre déterminé pour obtenir la valeur de la puissance immédiatement supérieure, on peut l'obtenir en prenant le complément à 1 et en lui ajoutant 1.

Exemple :

Soit à trouver le complément à 2 de 1010 :

On peut aussi le trouver en soustrayant le nombre 1010 de la valeur numérique correspondant à la puissance immédiatement supérieure :

Dans les systèmes numériques, c'est la façon précédente qui est utilisée car elle est plus facile à obtenir.

Ce complément est appelé : Complément vrai.

Une façon rapide de trouver le complément à 2 d'un nombre binaire, consiste à énumérer ce nombre en partant de la droite (poids le plus faibles) et tous les 0 rencontrés jusqu'au premier 1 sont transcrits ainsi que ce premier 1, sans changement, ensuite, systématiquement, on inverse tous les symboles

Ce complément va nous servir à réaliser les opérations dans les systèmes numériques.

5. - RAPPELS SUR LES OPÉRATIONS DE BASE

Dans les explications qui concernent les compléments binaires à 1 et à 2, nous avons dû effectuer quelques opérations binaires sans que vous ayez été informés des règles qui les régissent.

Ces règles font l'objet du présent chapitre et toujours par souci d'une meilleure approche, nous décrirons ces opérations en système décimal, puis en système binaire.

Avant d'aborder ces opérations, il convient de rappeler les règles auxquelles obéissent les signes affectés aux opérations et aux valeurs numériques des nombres.

Les opérations de base que l'on est amené à mettre en oeuvre dans les systèmes numériques sont :

      la somme, ou addition et l'opération inverse qui est la différence ou soustraction.

      le produit, ou multiplication et l'opération inverse qui est le quotient ou division.

      l'élévation à une puissance n^ième et son opération inverse, l'extraction de la racine n^ième.

Lorsque l'on écrit ces opérations qui portent sur des nombres, on doit les distinguer les unes des autres par des symboles conventionnels qui sont les suivants :

• la somme ou addition :            +

• la différence ou soustraction : - 

• le produit ou multiplication :    X

• le quotient ou division :            /

• l'élévation de puissance :       Nⁿ

• l'extraction de la racine :

      Dans le cas du produit de deux nombres relatifs, la valeur absolue du résultat est positive (+) si les deux nombres sont de même signe.

Exemple :

• (+ 5) x (+ 5) = (+ 25)

• (- 5) x (- 5) = (+ 25)

      La valeur absolue du produit de deux nombres relatifs est négative, si ces deux nombres sont de signes contraire.

Exemple :

• (+ 12) x (- 3) = (- 36)

      La valeur absolue du quotient de deux nombres relatifs est positive, si les deux nombres sont de mêmes signes.

Exemple :

• (+ 12) / (+ 3) = (+ 4)

• (- 12) / ( - 3) = (+ 4)

Le quotient peut aussi se noter de la façon suivante :

L'écriture sur une seule ligne avec la barre inclinée, symbole du quotient, est une notation plus commode du point de vue dactylographique.

      La valeur absolue du quotient de deux nombres relatifs, est négative, si ces deux nombres sont de signes contraires.

Exemple :

• (+ 12) / (- 3) = (- 4)

• (- 12) / (+ 3) = (- 4)

5. 1. - L'ADDITION DÉCIMALE

En règle générale, pour l'addition ou pour la soustraction, on inscrit le premier terme, puis en dessous, le ou les termes suivants, en plaçant dans les mêmes colonnes les chiffres affectés à des poids identiques.

Pour l'addition, plus de deux termes peuvent être disposés les uns en dessous des autres.

Nous additionnerons ensuite les chiffres de la colonne la plus à droite (de poids le plus faible).

Dans le système décimal, tout résultat supérieur à 9 génère un report dans la colonne suivante de poids immédiatement supérieur.

On additionne ensuite les chiffres alignés dans la seconde colonne, plus le report s'il existe et ainsi de suite jusqu'à la dernière colonne occupée.

On positionne, dans le rang de poids supérieur, le report de la dernière colonne, s'il y en a un.

La figure 12 représente la table de l'addition décimale. On désigne le premier terme (à gauche des lignes et en caractères gras), puis le second terme (en caractères gras, colonne supérieure). Le résultat est donné dans la case se trouvant à l'intersection de la ligne et de la colonne correspondant aux termes choisis. dans la partie en cyan, la somme des termes 1 et 2 impose un report dans la colonne de poids supérieur.

Le résultat de cette opération est un total.

Exemple : Soit à additionner 75 et 46 : la figure 13 donne la procédure.

La somme ou addition ne se limite pas aux nombres positifs, comme nous l'avons vu au début de ce chapitre, mais à l'ensemble des nombres relatifs.

D'une manière générale, elle donne pour résultat la somme des valeurs absolues quand les nombres sont de même signe et la différence s'ils sont de signes contraires.

Le signe du résultat est le même que celui des deux nombres qui a la plus grande valeur absolue.

Exemple :

• (+ 75) + (+ 46) = (+ 121)

• (+ 75) + (- 46)  = (- 29)

• (- 70)  + (- 30)  = (- 100)

5. 2. - L'ADDITION BINAIRE         

Elle s'effectue de la même manière que l'addition décimale.

La numération étant à base 2, tout résultat supérieur à 1 génère un report dans la colonne suivante.

La figure 14 représente la table de l'addition binaire. L'utilisation de cette table s'effectue de la même manière que pour celle de l'addition décimale de la figure 12. Dans la partie en cyan, la somme des termes 1 et 2 génère un report. On notera la grande simplicité de cette table par rapport à celle de l'addition décimale.

Exemple : Soit à additionner 13₁₀ et 5₁₀.

Effectuons la transformation de chaque nombre en binaire.

• 13₁₀ Þ 1101₂

•   5₁₀ Þ   101₂

La figure 15 montre le processus d'addition de ces deux nombres binaires.

On obtient ainsi : 10010₂ Þ 18₁₀

Les mêmes règles de signes s'appliquent aussi dans le cas des opérations binaires.

5. 3. - LA SOUSTRACTION DÉCIMALE OU DIFFÉRENCE

Comme pour toute opération, il conviendra de procéder avec ordre.

On pose le premier terme, puis on aligne en dessus le second terme, en faisant coïncider, dans les colonnes, les poids identiques.

On commence la soustraction par la colonne la plus à droite (de poids le plus faible) en prenant comme résultat le complément au chiffre soustrait, du chiffre soustracteur.

Le chiffre soustrait est celui qui fait partie du nombre soustrait ; ce dernier correspond au premier terme.

Le chiffre soustracteur est celui qui fait partie du nombre soustracteur ; ce dernier correspond au second terme.

Si le chiffre soustrait a une valeur numérique inférieure à celle du chiffre soustracteur, il y a génération d'un emprunt dans la colonne de poids immédiatement supérieur, que l'on reporte sous forme de retenue dans cette même colonne, en retranchant cette retenue au chiffre soustrait.

La figure 16 indique la table de soustraction décimale. Dans la partie en cyan, le terme soustrait ayant une valeur numérique inférieure à celle du terme soustracteur, l'opération génère un emprunt dans la colonne de poids plus élevé. Le résultat de cette opération est une différence.

Exemple : Soit à soustraire 46 de 75.

La figure 17 montre le processus de cette soustraction en décimal.

En commençant par la colonne de poids le plus faible, on constate, dans cet exemple, que l'on ne peut retrancher un nombre plus grand, d'un nombre plus faible. On va devoir pratiquer un emprunt dans la colonne immédiatement supérieure.

Ainsi, nous pouvons réaliser la soustraction, le nombre soustrait n'est plus 5, mais : 10 + 5 soit 15, auquel nous pouvons retrancher 6. La différence est 9.

Cet emprunt d'une unité dans la colonne des dizaines, il faut à présent le retrancher dans cette même colonne, sans quoi le nombre soustrait (75) verrait sa valeur numérique modifiée (elle deviendrait égale à 85).

Une fois cette retenue effectuée, la soustraction peut continuer jusqu'à la dernière colonne occupée.

Le résultat ou différence, est le complément du nombre soustracteur par rapport au nombre soustrait.

Si on additionne le résultat et le nombre soustracteur, on retrouve le nombre soustrait.

Dans le cas où le nombre soustrait a une valeur numérique plus élevée ou égale au nombre soustracteur, l'opération est possible et le résultat est positif ou nul.

Dans le cas où le nombre soustrait a une valeur numérique inférieure, pour effectuer l'opération, on utilise un artifice. Il en existe plusieurs, le plus simple consiste à inverser les termes :

• le nombre soustrait devient soustracteur

• le soustracteur devient le nombre soustrait.

Quand on effectue cette inversion, on affecte à la valeur numérique du résultat le signe négatif (-).

Ceci est une méthode rapide et pratique, car on peut utiliser aussi l'emprunt dans la colonne immédiatement supérieure. Dans ce cas, on obtient le complément à 100 du résultat.

On peut aussi procéder par addition du complément du nombre soustracteur au nombre soustrait comme nous le verrons dans le chapitre consacré aux opérations dans les machines numériques (le terme machine est utilisé ici pour désigner un système travaillant avec des signaux numériques).

5. 4. - LA SOUSTRACTION BINAIRE 

Dune façon générale, les opérations décimales ou binaires obéissent aux mêmes règles.

On retranche, dans la colonne de poids le plus faible, le chiffre soustracteur du chiffre soustrait, autrement dit on prend le complément du chiffre soustracteur par rapport au chiffre soustrait.

Si le chiffre soustrait a une valeur numérique plus faible que celle du chiffre soustracteur, il y a emprunt au terme soustrait de la colonne de poids immédiatement supérieur.

On procède ainsi de colonne en colonne jusqu'à la dernière représentant le poids le plus élevé.

De même que pour la soustraction décimale, si le terme soustrait a une valeur numérique plus faible que le terme soustracteur, on inverse les opérateurs et on affecte au résultat le signe (-).

La figure 18 représente la table de soustraction binaire, la case en cyan correspond à un emprunt au terme soustrait de la colonne de poids immédiatement supérieur.

Là encore, on constate une grande simplicité dans cette table par rapport à celle de la soustraction décimale.

Exemple : Soit à soustraire 5₁₀ de 11₁₀.

Effectuons la transformation en binaire :

• 11₁₀  Þ  1011₂

•    5₁₀ Þ    101₂

La figure 19 montre le déroulement de la soustraction binaire.

• Le résultat est donc : 1011 - 101 = 110

• Soit en décimal :          110₂  Þ  6₁₀

L'emprunt généré par l'opération de la colonne 2² est reporté sous forme de retenue au nombre de la colonne de poids immédiatement supérieure (soit 2³).

Les mêmes remarques que pour la soustraction décimale peuvent s'appliquer aussi dans ce cas.

5. 5. - LE PRODUIT OU MULTIPLICATION DÉCIMALE

La multiplication est une suite d'additions. Par exemple, si on veut multiplier 15 x 5, il suffit d'additionner cinq fois le nombre 15 avec lui-même pour obtenir le résultat.

Les tables de multiplication sont faites pour nous éviter ces suites d'additions.

Le nombre qui représente la quantité que l'on doit multiplier se nomme le multiplicande.

Le second terme du produit se nomme le multiplicateur.

Ainsi, dans l'exemple précédent, 15 est le multiplicande et 5 le multiplicateur.

La figure 20 représente la table de multiplication.

La lecture du résultat s'effectue dans la case correspondant à l'intersection de la ligne du multiplicande avec la colonne du multiplicateur.

La partie en cyan génère un report qui devra être ajouté au produit suivant.

Pour effectuer cette opération, on calcule le produit du chiffre occupant le rang le moins élevé du multiplicateur avec chacun des chiffres affectés aux différents poids du multiplicande, en commençant par le poids le plus faible.

Lorsque l'un de ces produits génère un report, celui-ci sera additionné au produit suivant.

Quand ces produits sont effectués, ils constituent le premier résultat partiel.

Le second résultat partiel s'obtient en faisant le produit du second chiffre du multiplicateur avec chacun des chiffres du multiplicande comme précédemment.

Ce second résultat partiel sera positionné sous le premier et en le décalant d'un rang vers les poids plus élevés, car il s'agit d'un produit obtenu avec le chiffre du multiplicateur occupant le rang de poids 10¹.

S'il y en a, les autres résultats partiels seront disposés sous les précédents, en respectant le décalage dû au rang du chiffre multiplicateur.

Le résultat final sera exprimé en faisant la somme des résultats partiels.

Il faut noter qu'il y a autant de résultats partiels qu'il y a de chiffres au multiplicateur.

Exemple : Soit à multiplier 75 par 406.

La figure 21 décrit cette multiplication.

• Le produit de 0 par un nombre N est égal à 0.

• Le produit d'un nombre N par 0 n'a pas de sens, mais si l'on applique la commutativité, on se replace dans le cas précédent et le résultat est égal à 0.

Le signe du produit est déterminé d'après les règles énoncées au début de ce chapitre, car le produit s'applique aux nombres relatifs (non seulement aux nombres positifs comme dans notre exemple). Nous rappelons ci-dessous ces règles qui s'appliquent aussi aux opérations binaires :

• un nombre positif multiplié par un nombre positif donne un produit positif.  

• un nombre négatif multiplié par un nombre négatif donne un produit positif

• un nombre négatif multiplié par un nombre positif donne un produit négatif (l'inverse donne le même résultat quand au signe). 

5. 6. - LE PRODUIT BINAIRE            

Du système binaire, basé sur deux éléments, découle une simplification du calcul. Cette simplification est encore plus sensible avec la multiplication. En effet, cette opération ne génère aucun report ni emprunt. La figure 22 représente la table de multiplication binaire.

Comme pour le système à base 10, la multiplication par 0 entraîne un résultat égal à 0. La multiplication par 1 entraîne la recopie du multiplicande.

La procédure d'obtention du résultat est identique à celle de la multiplication décimale (ou pour tout autre multiplication dans un autre système de numération).

Exemple : Soit à multiplier 11₁₀ par 20₁₀.

Transformons ses deux nombres en binaire.

• 11₁₀  Þ   1011₂

• 20₁₀  Þ   10100₂

La figure 23 représente cette multiplication binaire.

Le résultat de ce produit est donc 11011100₂, ce qui est équivalent au nombre décimal 220₁₀.

5. 7. - LA DIVISION OU QUOTIENT DÉCIMAL

Le quotient, qui est l'opération inverse du produit, est par conséquent, une suite de différences ou soustractions (le produit étant une suite d'addition).

Les règles de signes énoncées au début du chapitre s'appliquent au quotient décimal ou binaire.

Le quotient est composé d'un nombre à diviser, que l'on nomme le dividende, d'un nombre diviseur, que l'on nomme diviseur.

Le nombre de fois que l'on peut soustraire le diviseur du dividende, jusqu'à ce que cela ne soit plus possible, nous donne le quotient. Si la dernière soustraction indique un résultat nul, le quotient est dit entier (ou exact).

Si au contraire, il y a un reste, le quotient est dit approché.

Exemple : Soit à diviser 75 par 15.

La figure 24 expose une méthode possible.

Nous pouvons soustraire cinq fois le nombre 15 du nombre 75, par suite, le quotient est 5 et puisque le dernier résultat est nul, le quotient est entier.

La multiplication du quotient par le diviseur, ajouté au reste s'il existe, redonne le dividende.

La procédure d'obtention du résultat, dans la pratique, ne s'effectue pas selon cette méthode de soustractions successives qui est trop longue. De ce fait, cette opération est un peu plus délicate que les autres.

On commence par chercher combien de fois le diviseur est contenu entièrement dans le nombre constitué par le ou les chiffres occupant les rangs de poids les plus élevés du dividende.

Ce nombre constitue le premier dividende partiel. Le nombre de fois que le diviseur est contenu dans ce premier diviseur partiel, constitue le premier chiffre affecté au poids le plus élevé du quotient.

On soustrait ensuite le produit du diviseur par ce quotient partiel, du premier dividende partiel et cette différence (plus grande ou égale à zéro) constitue, avec le chiffre occupant le poids suivant du dividende, le second dividende partiel.

On cherche, à nouveau, combien de fois le diviseur est contenu dans ce second dividende partiel et le produit du diviseur par le second quotient lui est soustrait.

On effectue ces opérations jusqu'à ce que le dividende ne possède plus de chiffre significatif, si la dernière différence est égale à zéro, le quotient est dit exact, (le dividende est un multiple entier du diviseur).

S'il n'en est pas ainsi, le quotient est dit approché et la division comporte un reste.

Exemple : Soit à diviser 405 par 3.

Pour plus de facilité, on peut disposer l'opération de la façon suivante :

La figure 25 donne la procédure adoptée pour effectuer cette division.

Nous sommes en présence d'un quotient exact (135), la dernière différence étant égale à zéro. Le nombre 405 est un multiple de 3.

Cette procédure implique deux opérations :

• la multiplication

• la soustraction.

Ces opérations sont décrites aux chapitres 5.5 et 5.3 ainsi que les tables correspondantes.

Ces opérations sont plus faciles à effectuer qu'à énumérer, car nous avons acquis des automatismes.

Il n'est pas question de remettre en cause ces automatismes, mais ils font parfois oublier les processus élémentaires que nous utilisons pour des tâches fréquentes.

En les rappelant, la similitude entre les opérations décimales et binaires apparaît mieux et les procédures utilisées dans les machines numériques vous paraîtront plus familières.

5. 8. - LE QUOTIENT BINAIRE

Le cheminement en vue de l'obtention du résultat est identique à celui de la division décimale. Par conséquent, nous allons passer à un exemple.

La procédure pratique implique deux opérations :

• la multiplication ou produit

• la soustraction ou différence.

Ces opérations nous sont familières, leurs tables sont représentées dans les figures 22 et 18.

Soit à diviser 10101₂ (21₁₀) par 11₂ (3₁₀).

La figure 26 représente la procédure utilisée qui est tout à fait analogue à la méthode employée en décimal.

La division s'arrête là, car le reste est égal à zéro et il n'y a plus de chiffre, au dividende, à combiner avec le reste.

Le résultat de la division est donc 111₂ soit 7₁₀.

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