FORMULES MATHÉMATIQUES

Ce formulaire est consacré aux grandeurs électriques examinées dans les premières théories. D'une façon générale, les énoncés qui précèdent les formules fondamentales sont tirés directement des théories citées entre parenthèses après chaque énoncé. Il peut être utile ou même nécessaire de revoir dans les théories les notions qui sont à la base des formules mathématiques et de leurs applications. Ce formulaire est consacré aux grandeurs électriques examinées dans les premières théories. D'une façon générale, les énoncés qui précèdent les formules fondamentales sont tirés directement des théories citées entre parenthèses après chaque énoncé. Il peut être utile ou même nécessaire de revoir dans les théories les notions qui sont à la base des formules mathématiques et de leurs applications.

Dans les formulaires d'électrotechnique, comme c'était déjà le cas dans les formulaires consacrés à la géométrie et à la physique, on utilise les unités de mesure du système S.I., ou leurs multiples et sous-multiples propres.

Certaines de ces unités de mesure ont déjà été présentées dans les théories, lorsque le sujet traité le demandait.

FORMULE 61 - Calcul de l'intensité de courant connaissant la quantité d'électricité qui traverse la section d'un conducteur dans un temps donné.

Énoncé : L'intensité de courant exprimée en ampères, est donnée par la quantité d'électricité, exprimée en coulombs, qui traverse pendant chaque seconde une section du conducteur.

Pour traduire en formule l'énoncé précèdent, il suffit d'observer que la quantité d'électricité passant en une seconde à travers la section d'un conducteur, s'obtient en divisant la quantité d'électricité passant dans l'intervalle de temps considéré par le temps passé.

• Exemple :

FORMULE 62 - Calcul de la quantité d'électricité qui traverse la section d'un conducteur en un temps donné, connaissant l'intensité du courant.

(Cette formule est tirée de la formule 61).

• Exemple :

FORMULE 63 - Calcul du temps nécessaire pour qu'une quantité d'électricité donnée traverse la section d'un conducteur, l'intensité du courant étant connue.

(Cette formule est tirée de la formule 61).

• Exemple :

FORMULE 64 - Calcul de la résistance  d'un conducteur, connaissant la résistivité du matériau, la longueur et la section de ce conducteur.

Énoncé : La résistance d'un conducteur, exprimée en ohms, s'obtient en multipliant la résistivité exprimée en microhms-mètres, par la longueur exprimée en mètres, le tout divisé par la section exprimée en millimètres carrés.

R = résistance en (ohm)

p = résistivité en µ.m (microhm-mètre)

• Exemple :

Données relatives à un conducteur de cuivre : p 0,0176 µ.m (résistivité du cuivre ; voir tableau III, figure 1) ; l = 100 m ; S = 0,7854 mm².

Résistance du conducteur R 0,0176 x 100 / 0,7854 = 1,76 / 0,7854 = 2,24

OBSERVATION : dans la colonne centrale du tableau III (figure 1) sont indiquées les valeurs de résistivité des principaux conducteurs de l'électricité ; ces valeurs sont exprimées en microhms-mètres (µ.m), sous-multiple de l'unité de mesure ohm-mètre (.m).

1 µ.m = 0,0000 001 .m

1 .m = 1 000 000 µ.m

On utilise quelquefois dans les manuels techniques le symbole .mm² / m (ohm-millimètre carré par mètre) qui a la même signification que µ.m.

On utilise parfois, pour une plus grande simplicité de calcul, le sous-multiple .cm (ohm-centimètre).

1 .cm = 0,01 .m

1.m = 0,01 .cm

 

De plus, dans le même paragraphe, on a exprimé la longueur du conducteur en (cm) et non en (m) et la section en cm² et non en mm².

Cependant, que ce soit dans l'exemple précédent ou dans celles des leçons mathématiques intitulées "les formules", on a choisi les unités de mesure de telle façon qu'à la fin des calculs, la résistance du conducteur soit exprimée en ohms.

L'unité de résistivité ohm-mètre (.m) n'est pas utilisée en pratique pour indiquer la résistivité des conducteurs.

FORMULE 65 - Calcul de la longueur d'un conducteur connaissant la résistance, la section du conducteur et la résistivité du matériau.

R = résistance en (ohm)

p = résistivité en µ.m (microhm-mètre)

(Cette formule est tirée de la formule 64).

• Exemple :

Données relatives à un conducteur de nickel-chrome : R = 10 ; S = 0,7854 mm² ; p = 1,04 µ.m (résistivité du nickel-chrome ; tableau III, figure 1).

FORMULE 66 - Calcul de la section d'un conducteur connaissant la résistivité du matériau, la longueur et la résistance de ce conducteur.

p = résistivité en µ.m (microhm-mètre)

R = résistance en

(Cette formule est tirée de la formule 64).

• Exemple :

Données relatives à un conducteur de constantan : p = 0,5 µ.m (résistivité du constantan ; tableau III, figure 1) ; l = 100 m ; R = 63,66

FORMULE 67 - Calcul de la résistivité du matériau d'un conducteur connaissant la section, la résistance et la longueur de ce conducteur.

p = résistivité en µ.m (microhm-mètre)

R = résistance en (ohm)

(Cette formule est tirée de la formule 64).

• Exemple :

Données relatives à un conducteur électrique de matériau inconnu :

S = 1,76 mm² ; R = 14 ; l = 3 m.

Résistivité du matériau : p = (1,76 x 14) / 3 = 24,64 / 3 = 8,21 µ.m

OBSERVATION : pour que le résultat obtenu représente effectivement la résistivité du matériau, il faut que sa composition soit homogène.

FORMULE 68 - Calcul de la section d'un conducteur filiforme connaissant le diamètre.

S 0,7854 d²

(Cette formule est une application de la formule 19 du formulaire 1, intitulé "géométrie").

• Exemple :

Section du fil : S    0,7854 x 0,1² = 0,7854 x 0,01 = 0,007854 mm²

OBSERVATION : Dans les deux premières colonnes de gauche du tableau IV (figure 2), on a indiqué respectivement les valeurs du diamètre et de la section des fils de nickel-chrome, de constantan et de manganin, matériaux fréquemment utilisés dans les installations électriques. Si le diamètre d'un fil est égal à l'une des valeurs indiquées dans la première colonne, on peut déterminer la valeur de la section correspondante en la lisant directement dans la deuxième colonne.

Les diamètres sont exprimés en millimètres et les sections en millimètres carrés.

FORMULE 69 - Calcul du diamètre d'un fil connaissant la valeur de sa section.

OBSERVATION : Si la section du fil correspond approximativement à l'une des valeurs indiquées dans la deuxième colonne, on peut prendre comme valeur du diamètre correspondant celui reporté dans la première colonne.

Par exemple, pour une valeur de section égale à 0,28 mm² (ou bien 0,283 mm² ou 0,28274 mm²), on prendra le diamètre 0,60 mm qui donne dans le tableau IV (figure 2) une section de 0,2827 mm²

FORMULE 70 - Calcul de la conductance d'un conducteur électrique, connaissant sa résistance.

Énoncé : La conductance, exprimée en siemens, est l'inverse de la résistance exprimée en ohms.

Pour traduire en formule l'énoncé précédent, il suffit de se rappeler que l'on obtient l'inverse d'une grandeur en divisant le nombre 1 par la valeur de la grandeur considérée.

R = résistance en (ohm)

• Exemple :

Donnée : R = 20

FORMULE 71 - Calcul de la résistance d'un conducteur connaissant sa conductance.

R = résistance (ohm)

(Cette formule est tirée de la formule 70).

• Exemple :

Résistance : R = 1 / 0,25 = 4

FORMULE 72 - Calcul de la conductivité d'un conducteur connaissant sa résistivité.

Énoncé : La conductivité, exprimée en siemens par mètre, est égale à l'inverse de la résistivité exprimée en ohms-mètres.

p = résistivité en .m (ohm-mètre)

• Exemple :

Donnée : p = 50 .m (résistivité du sol en un lieu humide)

OBSERVATION : Si la résistivité est exprimée en microhm-mètre (voir la formule 64), en appliquant la formule 72, on obtient la valeur de la conductivité exprimée en méga siemens par mètre (MS / m).

Le méga siemens par mètre est indiqué par le symbole m / .mm² (mètre par ohm-millimètre carré).

FORMULE 73 - Calcul de la résistivité d'un conducteur connaissant sa conductivité.

  p = résistivité en .m (ohm-mètre)

(Cette formule est tirée de la formule 72).

• Exemple :

Résistivité du constantan : p = 1 / 2 000 000 = 0,000 0005 .m = 0,5 µ.m

(Valeur reportée dans le tableau III, figure 1). 

FORMULE 74 -  (loi d'OHM) : Calcul de la résistance d'un circuit connaissant la tension appliquée et l'intensité du courant.

Énoncé : La résistance, exprimée en ohms, s'obtient en divisant la tension exprimée en volts par l'intensité du courant, exprimée en ampères (Voir théories 1 et 1.2 dans la rubrique sommaire électronique).

R = résistance en (ohm)

• Exemple :

Résistance du circuit : R = 150 / 0,2 = 750

OBSERVATION : La formule 74 peut aussi s'appliquer en exprimant la tension et l'intensité du courant respectivement en sous-multiples (ou en multiples) du volt et de l'ampère ; en particulier, on peut exprimer la tension en millivolts (mV ; 1 mV = 0,001 V) et l'intensité du courant en milliampères (mA ; 1 mA = 0,001 A) et ainsi la résistance sera exprimée en ohms.

Cependant, si la tension est exprimée en volts et l'intensité du courant en milliampères (mA ; 1 mA = 0,001 A), la résistance sera exprimée en kilo-ohms (k ; 1 k = 1 000 ). On exprime quelquefois la tension en volts et l'intensité du courant en microampères (µA ; 1 µA = 0,000 001 A) ; dans ce cas, en appliquant la formule 74, on obtient la résistance exprimée en mégohms (M ; 1 M = 1 000 000 ).

FORMULE 75 - (loi d'OHM) : Calcul de la tension appliquée à un circuit connaissant la résistance et l'intensité du courant.

R = résistance en (ohm)

(Cette formule est tirée de la formule 74).

•  Exemple :

Données : R = 1500   ;  I = 0,1 A

OBSERVATION : La formule 75 peut aussi s'appliquer en exprimant la résistance et l'intensité du courant respectivement avec les sous-multiples de l'ohm et de l'ampère ; on peut en particulier exprimer la résistance en kilo-ohms (k) et l'intensité du courant en milliampères (mA) et ainsi la tension sera exprimée en volts.

FORMULE 76 - (loi d'OHM) : Calcul de l'intensité du courant connaissant la résistance et la tension appliquée au circuit.

R = résistance en (ohm)

(Cette formule est tirée de la formule 74).

• Exemple :

Données : V = 90 V  ;  R = 180

OBSERVATION : la formule 76 peut aussi s'appliquer en exprimant la tension et la résistance respectivement avec les sous-multiples et multiples du volt et de l'ohm. Par exemple, la tension peut être exprimée en millivolts (mV) et la résistance en ohm () : dans ce cas, l'intensité du courant sera exprimée en milliampères (mA) ; de même, la tension peut être exprimée en volts et la résistance en kilo-ohms (k), l'intensité du courant sera exprimée en milliampères.

FORMULE 77 - Calcul de la résistance totale d'un circuit formé de plusieurs résistances reliées en série connaissant leurs valeurs.

Énoncé : La valeur de la résistance équivalente à plusieurs résistances reliées en série est obtenue en faisant la somme des valeurs de chaque résistance.

Les valeurs de résistance doivent toutes être exprimées dans la même unité de mesure (, k, M).

• Exemple :

a)   Données :  R1 = 300 (ohm)  ;  R2 = 1 k (kilo-ohm) = 1000

• Résistance totale :  Rt = 300 + 1000 = 1300

b)  Données :  R1 = 2 k  ;  R2 = 0,5 k  ;  R3 = 1500 = 1,5 k

• Résistance totale :  Rt = 2 + 0,5 + 1,5 = 4 k

c)  Données :  R1 = 0,5 M (mégohm  ;  1 M = 1 000 000 )  ;  R2 = 2,7 M  ;  R3 = 300 k = 0,3 M  ;  R4 = 1 M

• Résistance totale : Rt = 0,5 + 2,7 + 0,3 + 1 = 4,5 M

FORMULE 78 - Calcul de la conductance totale d'un circuit formé de plusieurs résistances reliées en parallèle connaissant leurs valeurs.

Énoncé : La conductance résultante de l'association de plusieurs résistances reliées en parallèle s'obtient en faisant la somme des conductances de chaque résistance, (voir théorie 2 dans la rubrique sommaire électronique).

Les valeurs des conductances doivent toutes être exprimées dans la même unité de mesure (S ou mS ou µS).

• Exemple :

Données : G1 = 10 000 S  ;  G2 = 15 000 S  ;  G3 = 5 000 S  ;  G4 = 60 000 S

Conductance totale : Gt = 10 000 S + 15 000 S + 5 000 S + 60 000 S = 90 000 S

FORMULE 79 - Calcul de la résistance équivalente à plusieurs résistances reliées en parallèle connaissant leurs valeurs.

Énoncé : La résistance équivalente à plusieurs résistances reliées en parallèle s'obtient en effectuant les calculs en trois temps : d'abord on calcule la conductance de chaque résistance (formule 70) ; puis on calcule la conductance totale des résistances en parallèle (formule 78) ; enfin, on calcule la résistance équivalente, c'est-à-dire la résistance qui correspond à la conductance totale (formule 71).

Tous les calculs indiqués dans l'énoncé précédent peuvent être traduits par la formule suivante :

Les valeurs de résistance doivent toutes être exprimées dans la même unité de mesure (, k, M).

• Exemple :

Données : R1 = 200 (ohm)  ;  R2 = 1 k (kilo-ohm) = 1000   ;  R3 = 20   ;  R4 = 500   ;  R5 = 100 

Résistance équivalente aux cinq résistances reliées en parallèle :

FORMULE 80 - Calcul de la résistance équivalente de deux résistances reliées en parallèle connaissant leurs valeurs.

Énoncé : La résistance équivalente de deux résistances reliées en parallèle s'obtient en multipliant les valeurs des deux résistances et en divisant le tout par la somme de ces deux valeurs.

Les valeurs de résistance doivent toutes être exprimées dans la même unité de mesure (, k, M).

• Exemple :

Données : R1 = 2 k (kilo-ohm) = 2000   ;  R2 = 800

Résistance équivalente des deux résistances reliées en parallèle :

Re = (2 000 x 800) / (2 000 + 800) = 1 600 000 / 2 800    571,4 (valeur approchée par défaut).

OBSERVATION : Pour calculer la valeur de la résistance équivalente de deux résistances, on peut aussi se servir de la formule 79.

FORMULE 81 - Calcul de la valeur de la résistance à mettre en parallèle avec une autre résistance de valeur connue pour obtenir une résistance équivalente donnée.

Énoncé : La valeur de la résistance à mettre en parallèle avec une autre résistance de valeur connue pour obtenir une résistance équivalente donnée se calcule en multipliant la valeur de la résistance connue par la résistance équivalente, le tout divisé par la différence de ces deux valeurs.

Les valeurs de résistance doivent toutes être exprimées dans la même unité de mesure (, k, M).

• Exemple :

Données : R = 2000 (ohm)  ;  Re = 600

Résistance inconnue : Ri = (2 000 x 600) / (2 000 - 600) = 1 200 000 / 1 400 = 857 (valeur approchée par défaut)

FORMULE 82 - Calcul de la résistance équivalente à deux ou plusieurs résistances de même valeur reliées en parallèle.

Énoncé : La résistance équivalente de deux ou plusieurs résistances de valeurs égales reliées en parallèle s'obtient en divisant la valeur par le nombre de résistances.

La résistance équivalente sera exprimée dans la même unité de mesure que celle utilisée pour exprimer la valeur des résistances.

• Exemple :

a)   Données : R = 1 200 (ohm)  ;  n = 2

• Résistance équivalente : Re = 1 200 / 2 = 600

b)   Données : R = 150 k (kilo-ohm)  ;  n = 3 

• Résistance équivalente : Re = 150 / 3 = 50 k

c)  Données : R = 2 M (mégohm)  ;  n = 4

• Résistance équivalente : Re = 2 / 4 = 0,5 M = 500 k

FORMULE 83 - Calcul de la force électromotrice (f.e.m.) obtenue en reliant en série deux ou plusieurs piles, connaissant la force électromotrice de chaque pile.

Énoncé : En mettant en série deux ou plusieurs piles, on obtient une force électromotrice égale à la somme des forces électromotrices de chaque pile.

Les forces électromotrices doivent toutes être exprimées dans la même unité de mesure.

• Exemple :

Données : E1 = 4,5 V (volt)  ;  E2 = 4,5 V ;  E3 = 9 V  ;  E4 = En = 9 V

Force électromotrice totale : Et = 4,5 + 4,5 + 9 + 9 = 27 V.

FORMULE 84 - Calcul de la résistance interne d'une pile connaissant sa f.e.m. (tension à vide lorsqu'elle ne fournit aucun courant) et la tension en charge lorsqu'elle fournit un courant donné.

Énoncé : La résistance interne d'une pile est donnée par la différence entre la f.e.m. et la tension en charge, le tout divisé par le courant fourni.

Ri = résistance interne en (ohm)

• Exemple :

Résistance interne : Ri = (4,5 - 4,2) / 0,3 = 0,3 / 0,3 = 1  

FORMULE 85 - Calcul de la puissance électrique d'un appareil connaissant la tension appliquée et l'intensité du courant absorbé.

Énoncé : La puissance électrique, exprimée en watts, s'obtient en multipliant la tension, exprimée en volts, par l'intensité du courant exprimée en ampères.

• Exemple :

FORMULE 86 - Calcul de l'intensité du courant absorbé par un appareil connaissant la tension appliquée et sa puissance électrique.

(Cette formule est tirée de la formule 85)

• Exemple :

Données : P = 300 W  ;  V = 220 V

Intensité du courant : I = 300 / 220 = 1,36 A (valeur approchée par défaut).

FORMULE 87 - Calcul de la tension appliquée à un appareil connaissant l'intensité du courant absorbé et la puissance électrique de celui-ci.

(Cette formule est tirée de la formule 85).

• Exemple :

FORMULE 88 - Calcul de l'énergie électrique consommée par un appareil connaissant sa puissance électrique et sa durée de fonctionnement.

Énoncé : L'énergie consommée par un appareil, exprimée en watts-secondes, s'obtient en multipliant la puissance de l'appareil, exprimée en watts, par le temps de fonctionnement exprimé en secondes.

• Exemple :

OBSERVATION : Le watt-seconde (W.s), unité de mesure utilisée pour exprimer la quantité d'énergie électrique consommée, est équivalent à 1 joule (J), unité de mesure de l'énergie et du travail mécanique.

En pratique, pour indiquer la consommation domestique et industrielle de l'énergie électrique, on utilise un multiple du watt-seconde, c'est-à-dire le kilowatt-heure (kW.h).

Le résultat de l'exemple précédent peut s'exprimer en kW.h au moyen de l'équivalence :

Si dans la formule 88, la puissance est exprimée en kilowatts (kW  ; 1 kW = 1000 W) et le temps en heures h, (1 h = 60 mn = 3 600 s), l'énergie consommée sera exprimée en kilowatts-heures.

Par exemple, si P = 800 W = 0,8 kW et "t" = 30 mn = 0,5 h, l'énergie consommée sera de :

FORMULE 89 - Calcul de la puissance électrique dissipée par effet Joule dans une résistance connaissant l'intensité du courant et la valeur de cette résistance.

Énoncé : La puissance électrique, exprimée en watts, dissipée dans une résistance s'obtient en multipliant la résistance, exprimée en ohms, par le carré du courant qui la traverse, exprimé en ampères.

R = résistance en (ohm)

• Exemple :

Données :  R = 125   ;  I = 0,3 A

FORMULE 90 - Calcul de la valeur d'une résistance connaissant la puissance électrique dissipée et l'intensité du courant qui la traverse.

R = résistance en (ohm)

(Cette formule est tirée de la formule 89)

• Exemple :

Résistance : R = 100 / 0,5² = 100 / 0,25 = 400

FORMULE 91- Calcul de l'intensité du courant qui parcourt une résistance connaissant la puissance électrique dissipée et la valeur de cette résistance.

Énoncé : L'intensité du courant, exprimée en ampères, qui parcourt une résistance, s'obtient en divisant la puissance dissipée exprimée en watts par la résistance exprimée en ohms, et en extrayant la racine carrée du quotient obtenu.

FORMULE 92 - Calcul de la puissance électrique dissipée par effet Joule dans une résistance connaissant la tension appliquée et la valeur de cette résistance.

Énoncé : La puissance électrique, exprimée en watts, dissipée dans une résistance s'obtient en divisant le carré de la tension, exprimée en volts, par la résistance exprimée en ohms.

R = résistance en (ohm)

• Exemple : 

Données : V = 220 V  ;  R = 242

FORMULE 93 - Calcul de la valeur d'une résistance connaissant la puissance électrique dissipée et la tension appliquée.

R = résistance en (ohm)

(Cette formule est tirée de la formule 92).

• Exemple :

Résistance :  R = 220² / 400 = 48 400 / 400 = 121

FORMULE 94 - Calcul de la tension appliquée à une résistance connaissant la puissance électrique dissipée et la valeur de cette résistance.

Énoncé : La tension appliquée à une résistance, exprimée en volts, s'obtient en multipliant la puissance dissipée exprimée en watts, par la résistance exprimée en ohms et en extrayant la racine carrée du produit obtenu.

FORMULE 95 - Calcul de la quantité de chaleur obtenue en transformant par effet Joule une quantité d'énergie électrique donnée (pour le calcul de l'énergie électrique, voir la formule 88).

Énoncé : La quantité de chaleur exprimée en kilo-calories produite dans une résistance par effet Joule s'obtient en multipliant l'énergie électrique exprimée en watts-secondes (Joule) dissipée dans cette résistance par le nombre 0,000238.

• Exemple :

Données : Énergie électrique dissipée par une résistance W = 0,5 kW.h (kilowatt-heure) = 3 600 000 x 0,5 = 1 800 000 W.s (pour l'équivalence entre le kilowatt-heure et le watt-seconde, voir l'observation qui suit la formule 88).

Quantité de chaleur produite par la résistance : Qc = 0,000 238 x 1 800 000 = 428,4 kcal.

FORMULE 96 - Calcul de la résistance à chaud d'un conducteur connaissant l'augmentation de température du matériau et la résistance du conducteur à la température ambiante (20° C).

Énoncé : En augmentant la température d'un conducteur, on augmente sa résistance électrique. Pour le calcul de la résistance à chaud d'un conducteur, il faut compléter l'énoncé de la façon suivante : la résistance à chaud, exprimée en ohms, s'obtient en additionnant la résistance du conducteur à la température ambiante (20° C) avec le produit du coefficient de température du matériau, de la résistance à la température ambiante et de l'augmentation de température exprimée en degrés Celsius.

Les coefficients de température des principaux matériaux conducteurs sont reportés dans la dernière colonne de droite du tableau III (nous reportons la même figure 1 ci-dessous).

Rt    = résistance à chaud (à la température t) en (ohm)

R₂₀  = résistance à froid (à la température de 20° C) en (ohm)

     = coefficient de température du matériau

t       = température du conducteur chaud en °C (degrés Celsius)

t-20  = augmentation de température en °C (degrés Celsius)

• Exemple :

Données relatives à un conducteur de tungstène : R₂₀ = 30 (résistance à froid du conducteur) ;   = 0,0045 (coefficient de température du tungstène)  ;  t = 320° C (température du conducteur).

Augmentation de température du conducteur : t - 20 = 320 - 20 = 300° C

Résistance à chaud du conducteur : Rt = 30 + 0,0045 x 30 x 300 = 30 + 40,5 = 70,5

FORMULE 97 - Calcul de la résistance par mètre à froid (à 20° C) d'un conducteur connaissant sa section et la résistivité du matériau.

R / m = résistance par mètre en / m (ohm par mètre)

p = résistivité en µ.m (microhm-mètre)

* Cette formule est tirée de la formule 64 ("voir formulaire mathématiques 2 - 1ère partie") en donnant à la longueur du conducteur la valeur de 1 mètre *.

• Exemple :

Données relatives à un conducteur de nickel-chrome : p = 0,9 µ.m (résistivité du nickel-chrome à température de 20° C ; tableau III, figure 1) ; S = 0,007854 mm² (section du conducteur).

Résistance par mètre (à 20° C) : R / m = 0,9 / 0,007854 = 115 / m   (valeur approchée)

OBSERVATION : Dans le tableau IV ("voir le formulaire maths 2, 1ère partie, figure 2"), on a reporté les valeurs de résistance par mètre des conducteurs de nickel-chrome, constantan et manganin pour les sections d'usage le plus fréquent dans les applications électriques.

FORMULE 98 - Calcul de la résistance par mètre à chaud d'un fil de chauffage connaissant la résistance par mètre à froid (formule 97), le coefficient de température du matériau (tableau III, figure 1) et la température de fonctionnement du fil de chauffage.

(R / m)t = (R / m)₂₀ + (R / m)₂₀ (t - 20)

(R / m)t = résistance par mètre à la température de fonctionnement du fil de chauffage en / m (ohm par mètre).

(R / m)₂₀ = résistance par mètre à la température ambiante en / m (ohm par mètre)

= coefficient de température du matériau

t = température de fonctionnement du fil de chauffage en ° C (degrés Celsius)

t - 20 = augmentation de température en ° C (degrés Celsius)

(Cette formule est tirée de la formule 96 en substituant le symbole de la résistance (R) à celui de la résistance par mètre, R / m).

• Exemple :

Données  :  (R / m)₂₀ = 5,65 / m (résistance par mètre à froid d'un fil de nickel-chrome ayant un diamètre de 0,45 mm  ;  tableau IV, figure 2)  ;    = 0,00011 (coefficient de température du nickel-chrome  ;  tableau III, figure 1)  ;  t = 1020° C (température de fonctionnement du fil de chauffage).

Augmentation de température pendant le passage de la température ambiante à la température de fonctionnement du fil :  t - 20 = 1020 - 20 = 1000° C

Résistance par mètre à 1020° C : (R / m)t = 5,65 + 0,00011 x 5,65 x 1000 = 5,65 + 0,6215 = 6,2715 6,28 / m (valeur approchée par excès).

OBSERVATION : Le calcul de la résistance par mètre à chaud d'un fil de chauffage est nécessaire pour en déterminer la longueur quand on connaît la valeur de la résistance qu'il doit avoir pendant le fonctionnement, c'est-à-dire sa résistance à chaud. Pour mieux expliquer avec un exemple pratique, voyons comment on doit procéder dans le calcul de la résistance au nickel-chrome d'un appareil de chauffage électrique.

Calcul de la résistance d'un appareil de chauffage (four électrique, étuve électrique, etc...).

Données : Le four est alimenté avec la tension de 220 V et doit dissiper une puissance de 600 W à la température d'environ 1020° C (température de fonctionnement du fil de chauffage).

Procédé :

1) On calcule l'intensité du courant qui alimente le four dans les conditions normales de fonctionnement ; dans ce but, on utilise la formule 86 :

I = P / V  = 600 / 220 = 2,73 A  (valeur approchée par excès)

2) En se basant sur la valeur du courant calculé, on choisit la section du fil ; pour le courant de 2,73 A, il faudra choisir un fil de nickel-chrome de diamètre 0,45 mm correspondant à la section de 0,159043 mm² (voir tableau 4 de la figure 2, 1ère théorie). D'une façon générale, pour faire ce choix, il faut connaître la densité de courant nécessaire pour maintenir le fil de nickel-chrome à la température de fonctionnement.

Par la suite, dans le formulaire 4, nous verrons comment procéder pour calculer la section d'un fil conducteur connaissant la densité de courant admise par le matériau et l'intensité du courant qui doit passer dans le fil ; il vous suffit de connaître maintenant les diamètres des fils qui sont indiqués dans la cinquième colonne en partant de la gauche sur le tableau V (figure 3 ci-dessous) en correspondance avec les diverses valeurs du courant reportées dans la troisième colonne.

3) On calcule la valeur de la résistance à chaud que le fil doit présenter pour dissiper la puissance de 600 W, la tension de 220 V étant appliquée ; on utilise dans ce but la formule 93 :

R = V² / P = 220² / 600 = 48 400 / 600 = 80,666 80,67   (valeur approchée par excès)

4) En consultant le tableau IV (figure 2, formulaire maths2, 1ère partie), on détermine la résistance par mètre à froid du fil de nickel-chrome ayant un diamètre de 0,45 mm (section de 0,159043 mm²) ;  la valeur indiquée sur le tableau est de 5,65 / m.

5) Connaissant la valeur de la résistance par mètre à froid du fil nickel-chrome choisi, on calcule la valeur de la résistance par mètre de ce même fil à la température de fonctionnement (1020° C) ; dans ce but, on utilise la formule 98 :

(R / m)t   = (R / m)₂₀ + (R / m)₂₀ (t - 20)

               = 5,65 + 0,00011 x 5,65 x 1000

               = 5,65 + 0,6215 = 6,2715 6,28 / m   (valeur approchée par excès)

On peut éviter ce calcul en reprenant la valeur de la résistance par mètre à chaud dans le tableau V (figure 3) en correspondance avec les valeurs de 600 W et 220 V.

6) Connaissant la valeur de la résistance à chaud du fil (80,67 ) et la valeur de la résistance par mètre à chaud (6,28 ), on calcule la longueur du fil en divisant la première valeur par la seconde :

Pour construire un four électrique fonctionnant avec la tension de 220 V, à la température d'environ 1000° C (1020° C dans les calculs) de façon à dissiper une puissance de 600 W, on peut donc utiliser un fil de nickel-chrome ayant la résistivité de 0,9 µ.m (tableau III, figure 1).

La valeur de la résistivité du nickel-chrome n'a pas été mentionnée dans le calcul, mais a été introduite précédemment dans la formule 97 pour calculer les résistances par mètre indiquées dans le tableau IV (figure 2, "1ère partie du formulaire mathématiques N° 2"), c'est-à-dire les valeurs des résistances par mètre à froid utilisées successivement dans la formule 98 pour calculer les résistances par mètre à chaud indiquées dans le tableau V (ci-dessus).

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