NOTION DE FONCTION

Cette quatrième leçon de mathématique est consacré à l'examen de quelques fonctions. Nous verrons tout d'abord ce qu'il faut entendre par le terme «fonction». Cela fait l'objet du premier paragraphe.

Cette notion acquise, nous ferons un rappel sur les coordonnées d'un point. En effet, les fonctions se représentant graphiquement, il est nécessaire pour les tracer, de savoir situer dans un plan quelques-uns de leurs points particuliers. Après avoir revue ce qu'en arithmétique on appelle des grandeurs directement (ou inversement) proportionnelles, nous aborderons dans les autres paragraphes l'examen des fonctions proprement dites.

Comme nous l'avons déjà dit, nos leçons de mathématiques ne constituent pas un cours de mathématiques à proprement parler, mais contiennent les connaissances nécessaire à la bonne compréhension des autres leçons théoriques. C'est la raison pour laquelle les fonctions étudiées sont celles qui sont les plus souvent liées à certaines lois électriques, électrotechniques ou électroniques.

Nous nous sommes efforcés de donner un exemple d'application, soit dans la théorie elle-même, soit des exemples complémentaires. Comme toujours, nous vous invitons à refaire chaque exemple.

Souvent, la loi de dépendance entre deux grandeurs peut être précisée. Ainsi, lorsqu'un piéton marche à la vitesse constante de 6 km / h, la distance parcourue dépend du temps pendant lequel il a marché. Si l'on représente la vitesse par le symbole «v», la distance parcourue par «d», le temps du parcours par «t», on peut écrire :

Sachant que v = 6 et connaissant le temps «t», on peut calculer la distance «d». On dit que la distance est fonction du temps.

Nous savons qu'aux bornes d'une résistance R donnée, la tension U existant à ses bornes dépend de l'intensité I du courant traversant cette résistance. Nous connaissons la relation qui lie ces trois grandeurs :

Nous dirons que la tension U est, pour une résistance R donnée, en fonction de l'intensité I du courant. Par définition, on dira :

Une grandeur est une fonction connue d'une autre grandeur quand, connaissant une valeur de la deuxième, on peut calculer la valeur correspondante de la première.

Exemple numérique appliqué à la relation :

Généralisons notre formule de la loi d'Ohm sous une forme mathématique.

Comme nous avions convenu que la valeur de la résistance était constante, nous remplaçons la lettre «R» par «a». Tant qu'aux deux autres grandeurs U et I, remplaçons-les respectivement par y et x. La relation U = RI peut alors s'écrire :

Ainsi, à chaque valeur de x correspond une valeur de y que l'on sait calculer. On dit encore que le nombre y est en fonction du nombre x.

Lorsqu'un nombre est fonction d'un autre on peut, connaissant l'un, calculer l'autre.

Le nombre x, auquel on donne les valeurs que l'on veut, s'appelle la variable. Le nombre y, que l'on calcule, s'appelle la fonction.

Mathématiquement, pour exprimer qu'une grandeur (y) est fonction d'une variable x, on écrit :

qui se lit : y égal f de x ou y est une fonction de x.

Traçons deux axes perpendiculaires orientés (on dit aussi rectangulaires) x'Ox et y'Oy (figure 1).

 

2. 1. - RAPPEL DE DÉFINITIONS

L'axe x'x s'appelle l'axe des abscisses ou axe des x ; l'axe y'y s'appelle l'axe des ordonnées ou axe des y.

L'axe des abscisses et celui des ordonnées forment les axes de coordonnées. Le point 0 est l'origine des coordonnées.

2. 2. - POSITIONNEMENT D'UN POINT PAR RAPPORT A SES COORDONNÉES

A un couple de deux nombres algébriques quelconques, exemple x = - 4 et y = 5, correspond un point A du plan que l'on obtient de la manière suivante :

• x étant égal à - 4, compter sur x'x, en partant de 0 et dans le sens négatif, 4 graduations ;
• y étant égal à 5, compter sur y'y, en partant de 0 et dans le sens positif, 5 graduations ;
• par les deux graduations repérées, mener les parallèles aux axe ; elles se coupent au point A.

On dit que les nombres - 4 et + 5 sont les coordonnées du point A ; - 4 est son abscisse, + 5 est son ordonnée.

2. 3. - DÉFINITION DES COORDONNÉES D'UN POINT SITUE DANS LE PLAN

Soit un point B (figure 1) situé dans le plan.

Par ce point, on même les parallèles aux axes des coordonnées. L'intersection de ces parallèles avec les différents axes détermine les coordonnées du point.

Ainsi, figure 1, le point B a pour coordonnées x = 6 et y = - 3, ce qui s'écrit : B (6,- 3).

2. 4. - ÉCHELLE DES GRADUATIONS

Pour simplifier, nous avons porté des divisions ayant même longueur sur les deux axes. Cependant, on peut porter sur l'un des axes des divisions de longueur différente de celle portée sur l'autre, c'est-à-dire adopter des échelles différentes pour les deux graduations.

Par exemple, reprenons la représentation de la loi d'OHM que nous avons vue dans la leçon précédente.

Soit le circuit de la figure 2-a. Un générateur débite dans une résistance fixe de 100 ohms. Si la tension fournie par le générateur prend successivement les valeurs de 100, 200, 300...volts, le courant correspondant aura pour valeur 1, 2, 3... ampères (application de la relation I = U / R).

L'ampère et le volt sont deux unités correspondantes. Si l'on adopte pour échelle 1 cm = 1 ampère, il serait déraisonnable de prendre 1 cm = 1 volt car cela imposerait un graphique de plusieurs mètres (100 V = 100 cm = 1 m, 200 v = 200 cm = 2 m, etc.). En conséquence, pour représenter graphiquement cette relation, on adoptera comme échelle 1 cm = 100 volts et 1 cm = 1 ampère. De plus, sur un même axe, on peut trouver deux échelles différentes.

Prenons l'exemple où nous devons mesurer l'intensité du courant traversant un récepteur R en fonction de la valeur et des polarités de la tension appliquée à ses bornes (le courant est la fonction, la tension la variable). Soit le montage de la figure 3-a.

Supposons que les mesures de la tension U donnent des valeurs de quelques volts et que l'on relève les valeurs correspondantes du courant I1 de l'ordre du milliampère.

 

Nous renseignons le graphique figure 3-b en reportant les tensions sur l'axe des x positifs (1 cm = 1 V) et les intensités sur l'axe des y positifs (1 cm = 1 mA).

Modifions le montage comme l'indique la figure 3-c par l'inversion des polarités du générateur et l'augmentation importante de la valeur de la résistance que l'on appellera R'.

Comme précédemment, on mesure toujours des tensions de quelques volts mais les polarités sont inversées. Si l'on convient par exemple de prendre le point B comme potentiel de référence, le point A est devenu négatif par rapport à ce point B. Nous avons donc des tensions négatives et leurs valeurs sont à reporter sur l'axe des x négatifs avec le même échelle, 1 cm = 1 volt.

On mesure les intensités correspondantes du courant I2 qui sont cette fois de quelques microampères et d'un sens contraire à celui de I1. Nous reportons donc ces valeurs sur l'axe des y négatifs et l'on adopte comme échelle 1 cm = 1 µA, c'est-à-dire une échelle 1 000 fois plus grande que précédemment. Nous avons ainsi :

• en fonction des valeurs à mesurer, choisi des échelles ;
• en fonction du signe des grandeurs considérées, employé les quadrants correspondants, en l'occurrence le premier et le troisième (Figure 3-e).

3. - REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DE GRANDEURS DIRECTEMENT PROPORTIONNELLES

Définition : Deux grandeurs sont directement proportionnelles quand les diverses valeurs de l'une sont proportionnelles aux valeurs correspondantes de l'autre.

Nous avons vu par exemple que la distance parcourue par un piéton marchant à une vitesse constante dépendait du temps pendant lequel il marchait : la distance parcourue est proportionnelle au temps de marche. De même, l'intensité du courant traversant un récepteur de résistance déterminée, dépend de la tension appliquée aux bornes de ce récepteur. Faisons une application numérique de ce dernier exemple.

Soit un récepteur de résistance de 10 ohms aux bornes duquel on applique une tension qui prendra successivement les valeurs de 10 V, 20 V, 30 V, etc... l'intensité le traversant prendra respectivement les valeurs de 1 A, 2 A, 3 A, etc... puisque I = U / R.

La tension et l'intensité sont donc deux grandeurs directement proportionnelles car, lorsque les valeurs de la tension sont multipliées par 2, 3, 4, etc... les valeurs de l'intensité sont également multipliées par 2, 3, 4, etc...

On remarque que le quotient de deux valeurs correspondantes des grandeurs considérées est constant. On a en effet :

Ce quotient (10 dans notre exemple) est appelé coefficient de proportionnalité. Plus généralement, «y» et «x» étant les mesures correspondantes de deux grandeurs proportionnelles, «a» le coefficient de proportionnalité, ces mesures sont liées par la relation :

Autrement dit, deux grandeurs sont directement proportionnelles lorsque la mesure de l'une «y» s'obtient en multipliant la mesure correspondante de l'autre «x» par un nombre constant, appelé coefficient de proportionnalité.

4. 1. - REPRÉSENTATION GRAPHIQUE

Reprenons notre récepteur de 10 ohms de résistance et faisons-le parcourir par un courant auquel nous donnerons des valeurs arbitraires. Calculons les différentes valeurs correspondantes de la tension que l'on représentera graphiquement.

La tension aux bornes du récepteur est donnée par la relation :

Nous pouvons donc écrire les équivalences suivantes :

Donnons à x (Donc I) différentes valeurs et calculons les valeurs correspondantes de y (donc U).

Traçons deux axes de coordonnées, 0x et 0y (figure 4).

 

Graduons comme il se doit 0x en ampères et 0y en volts en adoptant comme échelle 1 A = 1 cm et 10 V = 1 cm. Plaçons les points A (1,10) ; B (2,20) ; C (3,30) ; D (4,40) ; E (5,50).

On constate que ces points sont sur une même droite (delta) qui passe par l'origine 0 et que l'on appelle droite représentative de la fonction y = 10 x d'où la règle :

La courbe représentative de la fonction y = ax est une droite passant par l'origine.

Nous rappelons qu'en mathématiques, le mot «courbe» est synonyme de «ligne». Ne soyez donc pas choqué si l'on vous dit qu'une «courbe» est une «droite».

4. 2. - TRACÉ PRATIQUE DE LA DROITE REPRÉSENTANT LA FONCTION y = ax

Comme nous venons de le voir, la droite y = ax passe par l'origine 0.

Comme pour positionner une droite, il suffit de connaître deux de ses points, il nous reste à déterminer un deuxième point, le premier étant connu (l'origine 0). On prend alors une valeur arbitraire de x que l'on multiplie par le coefficient de proportionnalité. Le produit obtenu nous donne l'ordonnée du deuxième point, l'abscisse étant évidemment la valeur arbitraire de x choisie.

En conservant les données précédentes, on prend par exemple x = 4 d'où y = 10 x 4 = 40 et l'on obtient le point P1 (4,40) (figure 5).

On joint ensuite le point 0 au point P1 et l'on obtient la droite 1 qui est la droite de la fonction y = 10 x.

Remarque : Pour la précision du dessin, il est conseillé de prendre une valeur de x la plus grande possible, compatible avec la grandeur du graphique.

Si nous avions choisi pour x la valeur arbitraire : 0,5 nous aurions obtenu le point P2 (0,5 ; 7). Il suffit d'une légère erreur de positionnement de ce point pour que les renseignements donnés par la lecture de la courbe soient faux. Ainsi, si nous repérons P2 (figure 5) non pas avec ses coordonnées exactes (0,5 ; 7) mais avec une légère erreur (0,5 ; 6,5 environ), pour les valeurs supérieures de x, l'erreur absolue devient importante. En ayant tracé la droite 2 nous voyons qu'à la valeur de x = 4 ne correspond plus y = 40 mais 35. L'erreur qui correspond à un écart de 12,5 % n'est pas négligeable.

4. 3. - GÉNÉRALISATION

Représentons sur un même graphique (figure 6) les fonctions y = ax suivantes :

Pour tracer les droites correspondantes, nous devons déterminer deux points : l'un est déjà formé par l'intersection des axes x'x et y'y, c'est le point 0.

Pour obtenir le second, donnons à x une valeur numérique :

Ces points étant maintenant parfaitement définis par leurs coordonnées, P1 (2 ; - 8) ; P2 (5 ; - 5) ; P3 (6 ; - 3) etc... nous pouvons les placer dans le plan et tracer les droites représentant chaque fonction en les faisant passer par l'origine 0 et les points P correspondants (figure 6).

Observons la figure 6. Nous remarquons que dans la fonction y = ax :

1 - Lorsque le coefficient «a» est positif (a > 0) ;

* - la droite se trouve dans le premier et le troisième quadrant,

* - lorsque x croît, y croît aussi : x et y varient dans le même sens.

On dit alors que la fonction est croissante.

2 - Lorsque le coefficient «a» est négatif (a < 0) :

- la droite se trouve dans le deuxième et le quatrième quadrant,

- lorsque x croît, y croît (x et y varient en sens inverse).

On dit alors que la fonction est décroissante.

En résumé, la fonction y = ax est croissante pour a > 0 et décroissante pour a < 0.

4. 4. - PENTE DE LA DROITE y = ax

En continuant d'observer la figure 6, nous faisons la constatation suivante : lorsque le coefficient «a» augmente en valeur absolue, l'angle formé par l'axe des abscisses (x'x) et la droite correspondante augmente également. Ainsi, l'angle x 0 P6 (fonction y = 3 x) est supérieur à l'angle x 0 P5 (fonction y = x).

Le coefficient «a» de «x» dans la relation y = ax s'appelle pente ou coefficient angulaire, de la droite y = ax.

En résumé, la pente de la droite y = ax augmente comme la valeur absolue du coefficient a de x.

Remarque : On démontre en trigonométrie que «a» est la tangente de l'angle formé par l'axe des abscisses avec la droite de la fonction considérée.

Si désigne cet angle, on a la relation :

a = tg (tg = tangente).

5. 1. - ÉTUDE CONCRÈTE

Supposons qu'un cycliste se repose à un moment donné de sa randonnée en un point P situé à 20 km d'une ville 0. Il reprend sa route en s'éloignant de cette ville 0 à la vitesse de 15 km / h.

a) A quelle distance de la ville 0 se trouvera-t-il au bout de 1 heure ? 2 heures ? 3 heures ? etc...

b) Quel est le graphique pouvant représenter la distance parcourue en fonction du temps ?

Solution :

a) Nous savons que la distance parcourue par une personne ou un objet qui se déplace, on dit un «mobile», est fonction de la vitesse de ce mobile et de son temps de déplacement.

      La distance parcourue par le cycliste en une heure est 15 x 1 = 15 km. Il se retrouve donc éloigné de la ville 0 de 15 + 20 = 35 km (point P1 figure 7).

      En deux heures, il parcourt : 15 x 2 = 30 km. Il se retrouve alors 30 + 20 = 50 km de 0 (point P2).

Généralisons : en x heures, le cycliste parcourt 15 . x km. Il se retrouve alors à 15 x + 20 km de 0.

Désignons par y la distance cycliste - ville 0. La relation qui relie cette distance (y) au temps de parcours (x) peut donc s'écrire :

Si l'on remplace les nombres 15 et 20 par les lettres a et b, appelées paramètre, c'est-à-dire des lettres représentant des nombres quelconques mais connus, la relation devient :

b) Représentons graphiquement la fonction y = 15 x + 20. Prenons en échelle 1 cm = 10 km et 1 cm = 1 heure.

Déterminons les points P1, P2, P3, etc... ayant pour coordonnées respectives les valeurs correspondantes de x et de y (figure 7).

 

En joignant les points les uns aux autres, on constate qu'ils sont alignés et qu'en conséquence la courbe représentative de la fonction y = 15x + 20 est une droite.

5. 2. - REPRÉSENTATION DE LA FONCTION y = ax + b

En généralisant ce qui vient d'être dit, on peut écrire :

La courbe représentative de la fonction y = ax + b est une droite parallèle à la droite y = ax et coupant l'axe des ordonnées au point d'ordonnée b.

Remarques et définitions :

      Le nombre b est appelé l'ordonnée à l'origine (valeur de y pour x = 0),

      La droite y = ax + b étant parallèle à la droite y = ax a la même pente ; le paramètre «a» est donc la pente (ou coefficient angulaire) de la droite y = ax + b.

      Si «a» est positif, la fonction y = ax est croissante. Les deux droites étant parallèles, la fonction y = ax + b est également croissante.

      Le paramètre «b» peut être positif ou négatif. S'il est nul, l'équation se réduit à y = ax.

      Pour la même raison, si «a» est négatif, la fonction y = ax et par conséquent la fonction y = ax + b sont décroissantes.

En résumé, dans la fonction y = ax + b :

1. a est la pente ;
2. b est l'ordonnée à l'origine, positive ou négative ;
3. si a > 0 la fonction est croissante ;
4. si a < 0 la fonction est décroissante.

5. 3. - TRACÉ PRATIQUE DE LA DROITE y = ax + b

Pour construire la droite y = ax + b, il suffit, bien entendu, de déterminer deux de ses points et de les joindre. En général, on détermine les points qui résultent de l'intersection de cette droite avec les axes de coordonnées :

on fait x = 0 et on calcule y ;

puis y = 0 et on calcule x.

Premier exemple : Soit la fonction y = - 2x + 4

      Prenons comme échelle :

• pour l'axe des abscisses 2 cm = une unité
• pour l'axe des ordonnées 1 cm = une unité

      Traçons les deux axes (figure 8)

      Posons x = 0 ; la relation y = - 2x + 4 devient :

      Posons y = 0 ; la relation y = - 2x + 4 devient :

 

      On joint les deux points P1 et P2.

Deuxième exemple : Représentons graphiquement comment varie la redevance à payer en fonction de l'énergie électrique consommée, sachant que celle-ci est tarifiée 48 centimes le kilowatt-heure et que la location du compteur est de 250 francs. On suppose que la consommation varie entre 0 et 1 200 kWh.

Résolution :

      Il nous faut établir la relation existant entre ces différentes données. Il est évident que la redevance, c'est-à-dire le prix payé, dépend, ou est fonction, de la consommation (nombre de kWh) et du prix du kWh. Nous pouvons donc écrire :

Prix à payer = nombre de kWh consommés x prix du kWh

Ce qui est de la forme : y = ax en attribuant «y» au prix à payer, «x» au nombre de kWh consommés et «a», paramètre connu, au prix du kWh c'est-à-dire 48 centimes.

Il reste à tenir compte de la location du compteur qui est fixe et indépendante de la consommation. Nous avons là le facteur b et nous pouvons écrire : y = ax + b.

Avec y = montant de la redevance

a = prix du kWh (0,48 F)

x = nombre de kWh consommés

b = location du compteur (250 F)

et, numériquement : y = 0,48x + 250

La relation étant établie, il nous faut transposer graphiquement.

Pour tracer et graduer les axes de coordonnées, choisissons les échelles :

- Axe des abscisses. Nous avons une consommation maximale de 1200 kWh. En prenant un axe de 10 cm, nous obtenons 1200 / 10 = 120 kWh par centimètre.

- Axe des ordonnées. Au maximum, la redevance sera de :

(0,48 X 1 200) + 250 = 576 + 250 = 826 francs.

Avec un axe de 10 cm, nous obtenons 826 / 10 = 82,6 F par centimètre. Pour plus de commodité, nous prendrons 100 F par centimètre.

      Traçons et graduons les deux axes (figure 9).

Déterminons les deux points nécessaires au tracé de la droite.

Nous avons y = 0,48 x + 250

Pour x = 0 y = 250 (P1)

Pour y = 0 0 = 0,48 x + 250 - 0,48 x = 250

x = - 250 / 0,48 = - 520

Nous n'avons pas cette valeur sur notre graphique. Nous pourrions la trouver en prolongeant l'axe des x vers les valeurs négatives. Mais faisons autrement. Supposons que notre consommation soit de 1200 kWh ce qui correspond à une redevance de :

Nous avons ainsi déterminé les coordonnées du deuxième point : P2 (1 200 , 826). Les deux points étant trouvés, il ne reste plus qu'à tracer la droite.

En électrotechnique ou en électronique, on rencontre des lois dont la forme générale est y = ax + b.

Dans l'étude des transistors, on trouve la relation :

Ic = IB + ICEO

Définition : Une grandeur est proportionnelle au carré d'une autre quand l'une ayant une valeur, l'autre prend le carré de cette valeur.

Considérons une résistance dans laquelle on fait passer un courant I de différentes valeurs. Un wattmètre branché dans le circuit nous permet de mesurer la puissance P consommée par cette résistance :

Établissons maintenant les rapports entre les puissances et le carré des courants correspondants.

10 / 1² = 10 ; 40 / 2² = 40 / 4 = 10 ; 90 / 3² = 90 / 9 = 10 ; 160 / 4² = 160 / 16 = 10 ; 250 / 5² = 250 / 25 = 10

Nous remarquons que ce rapport est constant. La valeur obtenue dans notre exemple (10) est celle de la résistance R.

Nous pouvons donc écrire :

D'une manière générale, si (x) est la mesure d'une grandeur et (y) la mesure d'une autre grandeur proportionnelle au carré de la première, le rapport de proportionnalité «a» s'exprime par la relation :

La définition du début du paragraphe peut donc s'exprimer ainsi : une grandeur (y) est proportionnelle au carré d'une grandeur (x) quand elles sont liées par la relation : y = ax², «a» étant un coefficient fixe.

7. 1. - FONCTION y = x²

Dans le cas où a = 1, la fonction y = ax² se réduit à y = x².

Pour étudier graphiquement la fonction y = x², nous allons donner à x des valeurs quelconques positives et négatives. Chacune de ces valeurs, élevée au carré, donnera la valeur correspondante de y.

Écrivons donc la suite des nombres entiers et en dessous leurs carrés : 

En examinant ce tableau nous remarquons :

      Lorsque les nombres négatifs augmentent, c'est-à-dire lorsqu'ils se rapprochent de zéro, leurs carrés diminuent,

      Lorsque les nombres positifs augmentent, leurs carrés augmentent,

      Deux nombres opposés ont le même carré.

Les résultats obtenus sont représentés graphiquement figure 10 (le procédé pour tracer une courbe étant maintenant supposé connu, nous ne l'expliquerons plus dans le détail).

Nous remarquons que la courbe obtenue n'est plus une droite comme dans le cas de deux grandeurs directement proportionnelles. Cette courbe s'appelle une parabole.

 

D'autre part, on peut observer que :

1. - La fonction est définie pour toutes les valeurs de x ; autrement dit, quelque soit x (x pouvant varier de - + ), on peut toujours calculer son carré x² ;
2. - La fonction est toujours positive, sauf pour x = 0, valeur pour laquelle y = 0
3. - Quand on donne à x deux valeurs opposées, y prend la même valeur : Si x est égal à - 3 ou à + 3, y = 9 dans les deux cas. Autrement dit, la courbe admet l'axe y'y comme axe de symétrie ;
4. Quand x varie de - à 0, la fonction est décroissante ; quand x varie de 0 à + , elle est croissante ;
5. - La fonction passe par un minimum x = 0 ;
6. Quand x croît indéfiniment par valeurs positives ou négatives, y croît indéfiniment.

L'étude de la variation de la fonction y = x² peut se résumer par le tableau suivant que nous utiliserons encore par la suite.

 

Dans la première ligne de ce tableau, on trouve différentes valeurs de x. Nous avons pris ici les valeurs extrêmes - et + et la valeur zéro. Dans l'étude de fonctions un peu plus compliquées, on prend d'autres valeurs particulières comme nous le verrons. L'inclinaison des flèches donne le sens de variation des nombres compris entre les deux valeurs situées de part et d'autre de la flèche lorsque l'on compte de la valeur située à gauche de celle-ci pour aboutir à celle qui est située à droite. Ainsi, lorsque l'on part de - pour arriver à zéro, les valeurs relatives des nombres augmentent au fur et à mesure que l'on se rapproche de 0 ; on résume cela par une flèche à laquelle on donne une inclinaison ascendante. Lorsque l'on part de 0 et que l'on continue indéfiniment à compter, les valeurs des nombres augmentent également et la flèche est encore ascendante.

La deuxième ligne donne les valeurs de la fonction calculées d'après celles de la variable situées dans la première ligne. Lorsque l'on part de + pour arriver à zéro, il est évident que les valeurs des nombres sont de plus en plus petites, d'où la flèche descendante.

Au contraire et comme précédemment, lorsque l'on compte de zéro jusqu'à l'infini, les valeurs augmentent et la flèche est ascendante.

7. 2. - FONCTION y = 2 x²

Cette fonction peut se mettre sous la forme :

Ainsi, pour calculer y, il suffit de multiplier par 2 les valeurs obtenues pour x².

Faisons ces calculs pour quelques valeurs arbitraires de x, inscrivons les résultats dans le tableau suivant et symbolisons par des flèches, comme nous l'avons vu, le sens des variations.

 

En analysant le tableau, nous voyons que pour les valeurs de :

- x variant de - à 0 : y décroît de + à 0

- x variant de 0 à + : y croît de 0 à +

La courbe de la figure 11 matérialise les différents résultats.

 

Remarque : On ne porte pas toujours dans les tableaux les calculs et valeurs intermédiaires ayant servis à construire la courbe. Le tableau se simplifie et se présente alors comme celui-ci :

 

7. 3. - FONCTION y = (1 / 2) x²

Comme précédemment, commençons par dresser le tableau de l'étude des variations de (y) en fonction de celles de x.

 

Le tableau résumé est le suivant :

 

Traçons maintenant la courbe correspondante (figure 12).

Nous voyons que la courbe obtenue est toujours une parabole.

 

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